On part de deux nombres réels a et b et on
les prolonge comme une suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des
deux précédents. On obtient c = a + b, puis
d = b + c.
Le triplet pythagoricien (x, y, z) sera alors :
x = ad |
y = 2bc |
z = b² + c²
Ce qui donne :
z − y = a² |
z − x = 2b² |
x − y = a² − 2b²
a et b paramètrent donc la différence de longueur entre
chaque paire de côtés d'un triangle rectangle. C'est pourquoi on peut les utiliser pour
classer les triplets pythagoriciens en 3 familles représentant chacune les
triangles rectangles les plus isocèles possibles :
Si a = 1, et b entier, on obtient : z = y + 1 :
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41)…
Si b = 1, et a entier, on obtient : z= x + 2 :
(3, 4, 5), (15, 8, 17), (35, 12, 37), (63, 16, 65)…
À noter :le cas a = 1 et b = 1 donne le premier triplet (3, 4, 5) :
le seul triplet commun aux trois familles, la troisième étant celle des "vrais"
triangles presque isocèles, ceux dont parle la littérature :
Si a/b ≈ √2 on obtient : |x − y| = 1 : la famille des triangles dont les deux côtés de l'angle droit ne
diffèrent que de 1. Leurs formes approchent le demi-carré. On les obtient
en partant de a = 1 et b = 1 puis en calculant « à la Fibonacci (encore lui) » les
deux nombres suivants, mais on les échange avant de recommencer.
Ainsi les couples (a, b) : (1, 1) → (3, 2) → (7, 5) → (17, 12) → (41, 29)…
produisent les triplets : (3, 4, 5), (21, 20, 29), (119, 120, 169), (697, 696, 985)…
Ces couples forment des fractions a/b qui se trouvent être
les meilleures approximations rationnelles de √2.
Ce sont les réduites de sa fraction continue [1 ; 2, 2, 2, …] :
1/1 = 1 · 3/2 = 1,5 · 7/5 = 1,4 ·
17/12 = 1,4167 · 41/29 = 1,41379 ·
99/70 = 1,414286…
Un simple échange entre 2 nombres dans la méthode de Fibonacci a donc le don de transmuer le nombre d'or en √2 !
Si cela vous intrigue, regardez ici:
tableur.
Aire, périmètre et cercle inscrit : tout s'écrit avec les
quatre lettres a, b, c, d.
aire = abcd |
demi-périmètre = cd |
rayon du cercle inscrit = ab
La formule de Héron donne l'aire d'un triangle à partir de ses trois côtés
seulement : 16 × aire² est le produit des quatre nombres
x + y + z, y + z − x, x + z − y et x + y − z. Ici ces quatre nombres se factorisent
d'un coup :
x + y + z = 2cd |
y + z − x = 2bd |
x + z − y = 2ac |
x + y − z = 2ab
Leur produit vaut 16 a²b²c²d², donc aire = abcd, c'est-à-dire xy/2 : le triangle
est bien rectangle en (x, y).
Sur (3, 4, 5) : a = b = 1, c = 2, d = 3, donc aire 6, demi-périmètre 6 et
rayon inscrit 1.
Triplets primitifs (ou irréductibles) : si a et b sont entiers, le triplet
l'est aussi. Il est primitf lorsque a est impair et que a et b
n'ont aucun diviseur commun.
Agrandissements : multiplier a et b par √k agrandit le
triangle k fois.
Plus de détails
ici.