Introduction
Le théorème de Pythagore est l’une des relations les plus célèbres en mathématiques. Il concerne les triangles rectangles.
Énoncé du théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Formule mathématique
a² + b² = c²
Où :
- c = hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l’angle droit)
- a et b = les deux autres côtés (appelés cathètes)
Identification des éléments
Dans un triangle rectangle :
- L’angle droit (90°) est marqué par un petit carré
- L’hypoténuse est toujours face à l’angle droit
- Les cathètes forment l’angle droit
Exemple d’application
Triangle rectangle avec cathètes de 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?
Calcul :
- a = 3 cm, b = 4 cm
- c² = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5 cm
Applications pratiques
- Vérifier qu’un triangle est rectangle
- Calculer des distances
- Construction et architecture
- Navigation et géolocalisation
- Relativité générale…
Vérification qu’un triangle est rectangle
Si les longueurs des côtés sont 5, 12 et 13 :
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- 13² = 169
- Comme 5² + 12² = 13², le triangle est rectangle
Réciproque du théorème
Si dans un triangle a² + b² = c², alors ce triangle est rectangle et c est l’hypoténuse.
Contraposée du théorème
Si dans un triangle a² + b² ≠ c², alors ce triangle n’est pas rectangle.
Triplets pythagoriciens célèbres
- (3, 4, 5)
- (5, 12, 13)
- (8, 15, 17)
- (7, 24, 25)
Histoire
Le théorème porte le nom du mathématicien grec Pythagore (vers 570-495 av. J.-C.), bien qu’il ait été connu des civilisations antérieures.
Exercice d’application
Triangle rectangle avec cathètes de 6 m et 8 m.
Hypoténuse = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m